连续型随机变量相关计算笔记

$（F(x)\leftrightarrow f(x)）$

核心公式总结

$\boldsymbol{f(x)=F'(x)}$
$P\{a<X\le b\}=\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$

单点概率：P{ $P\{X\le a\}=F(a)=\int_{-\infty}^a f(x)\mathrm{d}x$

例1

设随机变量X的分布函数：

\begin{matrix} F (x) = {\begin{cases} 0, & x < 1 \\ \ln x, & 1 \leq x < e \\ 1, & x \geq e \end{cases} \end{matrix}

$\quad(2) 求P\{X<2\},\ P\{0<X\le3\}$

解： (1) 分段对F(x)求导：

\begin{matrix} f (x) = F^{'} (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x}, & 1 \leq x < e \\ 0, & 其他 \end{cases} \end{matrix}

(2)

\begin{aligned} P {X < 2} = P {X \leq 2} = F (2) = \ln 2 \\ - 法 1 （ 分 布 函 数 ） ： P {0 < X \leq 3} = F (3) - F (0) = 1 - 0 = 1 \\ - 法 2 （ 密 度 积 分 ） ： P {0 < X \leq 3} = \int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x = 1 \end{aligned}

例2

已知X的概率密度：

\begin{matrix} f (x) = {\begin{cases} k e^{- 2 x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \end{matrix}

$\quad$ (2) 求分布函数F(x)

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=1$ $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\mathrm{d}t$ $F(+\infty)=1,\ F(-\infty)=0$

解： (1) 由规范性：

1 = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = \int_{0}^{+ \infty} k e^{- 2 x} d x = \frac{k}{2} ⟹ k = 2

\begin{matrix} (2) 代 入 k = 2 ， f (x) = {\begin{cases} 2 e^{- 2 x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} ， 设 F (x) = {\begin{cases} - e^{- 2 x} + C_{1}, & x \geq 0 \\ C_{2}, & x < 0 \end{cases} \end{matrix}

结合边界条件：

{\begin{cases} F (- \infty) = 0 ⟹ C_{2} = 0 \\ F (+ \infty) = 1 ⟹ C_{1} = 1 \end{cases}

最终分布函数：

\begin{matrix} F (x) = {\begin{cases} 1 - e^{- 2 x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \end{matrix}

二、常见连续型分布计算

$\boldsymbol{X\sim U(a,b)}$

核心性质：

\begin{matrix} f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{b - a}, & a < x \leq b \\ 0, & 其他 \end{cases}, P {c < X < d} = \frac{d - c}{b - a} (a < c < d < b) \end{matrix}

例题 $X\sim U(0,5)$ $4t^2+4Xt+X+2=0$ 有实根的概率。

$\iff$ $\Delta\ge0$

解：

\begin{aligned} P {方程有实根} & = P {Δ \geq 0} \\ = P {X \geq 2 \cup X \leq - 1} \\ = P {X \geq 2} + P {X \leq - 1} \\ = \frac{5 - 2}{5} + 0 = \frac{3}{5} \end{aligned}

2. 正态分布

$\boldsymbol{X\sim N(\mu,\sigma^2)}$

核心知识点：

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
$P\{X\le\mu\}=P\{X\ge\mu\}=\frac12$
$\displaystyle Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$
标准正态:

X \sim N (0, 1) 时 ， Φ (0) = \frac{1}{2}, Φ (- x) = 1 - Φ (x), P {a < x \leq b} = Φ (b) - Φ (a)

$X\sim N(\mu,\sigma^2)，P\{2<X<4\}=0.3，\mu=2，求P\{X<0\}$

\begin{matrix} 解 ： 标 准 化 ： P {2 < X < 4} = P (\frac{2 - 2}{σ} < \frac{X - 2}{σ} < \frac{4 - 2}{σ}) = Φ (\frac{2}{σ}) - Φ (0) = 0.3 \\ Φ (0) = \frac{1}{2} ， 得 Φ (\frac{2}{σ}) = 0.8 \\ P {X < 0} = P (\frac{X - 2}{σ} < \frac{0 - 2}{σ}) = Φ (- \frac{2}{σ}) = 1 - Φ (\frac{2}{σ}) = 1 - 0.8 = 0.2 \end{matrix}

$(\boldsymbol{Y=g(X)})$

通用解题步骤

根据X值域划分Y的分界区间；
$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=\displaystyle\int\limits_{g(x)\le y} f_X(x)\mathrm{d}x$ ；
$f_Y(y)=F_Y'(y)$

例题 $X\sim U(0,2)，Y=X^3，求：(1)F_Y(y)；(2)f_Y(y)$ 解：

\begin{matrix} 由 X \sim U (0, 2) ， f_{X} (x) = {\begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < x < 2 \\ 0, & 其他 \end{cases} ， X \in (0, 2) ⟹ Y \in (0, 8) \\ 1. 求 分 布 函 数 F_{Y} (y) : \\ 1) y < 0 ： F_{Y} (y) = P {X^{3} \leq y} = \int_{- \infty}^{\sqrt[3]{y}} f_{X} (x) d x = 0 \\ 2) 0 \leq y < 8 ： F_{Y} (y) = \int_{0}^{\sqrt[3]{y}} \frac{1}{2} d x = \frac{1}{2} \sqrt[3]{y} \\ 3) y \geq 8 ： F_{Y} (y) = \int_{0}^{2} \frac{1}{2} d x = 1 \\ F_{Y} (y) = {\begin{cases} 0, & y < 0 \\ \frac{1}{2} \sqrt[3]{y}, & 0 \leq y < 8 \\ 1, & y \geq 8 \end{cases} \\ 2. 求 概 率 密 度 : f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{6 \sqrt[3]{y^{2}}}, & 0 < y < 8 \\ 0, & 其他 \end{cases} \end{matrix}

二维随机变量及其分布

1. 二维离散型随机变量的分布（联合、边缘、条件分布、独立性）

例题

将两封信随机地投入编号为 1,2,3,4 的 4 个邮筒内，X,Y 分别表示第 1、第 2 个邮筒内信的数目。

写出 (X,Y) 的联合概率分布
求 X,Y 的边缘分布
求 X 在 Y=1 条件下的条件分布律
判断 X 与 Y 是否独立

解题核心要点

联合分布律：先确定取值，再计算对应概率
边缘分布：联合表行行相加、列列相加
条件分布律：使用条件概率公式
离散型独立性判定：
- 联合矩阵每行 / 每列成比例
- 或满足 P{X=i,Y=j}=P{X=i}⋅P{Y=j}

(1) 联合概率分布

\begin{aligned} p_{00} & = P {X = 0, Y = 0} = P {两封信均投入3、4号邮筒} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \\ p_{01} & = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}, p_{02} = \frac{1}{16}, p_{10} = \frac{2}{16} = \frac{1}{4}, p_{11} = \frac{1}{8}, p_{12} = 0 \\ p_{21} & = 0, p_{22} = 0, p_{20} = \frac{1}{16} \end{aligned}

表格

X∖Y	0	1	2
0	1/4	1/4	1/16
1	1/4	1/8	0
2	1/16	0	0

(2) 边缘分布

X 的边缘分布：

表格

X	0	1	2
Pi	9/16	3/8	1/16

Y 的边缘分布：

表格

Y	0	1	2
p⋅j	9/16	3/8	1/16

(3) Y=1 条件下 X 的条件分布律

\begin{aligned} P {X = 0 ∣ Y = 1} & = \frac{P {X = 0, Y = 1}}{P (Y = 1)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{8}} = \frac{2}{3} \\ P {X = 1 ∣ Y = 1} & = \frac{1}{3} \\ P {X = 2 ∣ Y = 1} & = 0 \end{aligned}

表格

X	0	1	2
P(X∣Y=1)	2/3	1/3	0

(4) 独立性判断

方法 1：观察联合矩阵

(\begin{matrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{8} & 0 \\ \frac{1}{16} & 0 & 0 \end{matrix})

矩阵各行不成比例，X与Y不独立

方法 2：特殊点验证
$P {X = 2, Y = 2} = 0 \neq P {X = 2} \cdot P {Y = 2} ，故 X 与 Y 不独立$

2. 二维连续型随机变量相关计算（联合、边缘、条件密度、独立性）

例题

设 (X,Y) 的联合密度函数为：

\begin{matrix} (X, Y) 的 联 合 密 度 函 数 为 ： f (x, y) = {\begin{cases} k x, & 0 \leq x \leq y \leq 1 \\ 0, & 其他 \end{cases} \end{matrix}

解题步骤：

求常数 k
求 P{X+Y≤1}
求边缘密度 fX(x),fY(y)
求条件密度 fY∣X(y∣x)
判断 X 与 Y 是否独立

核心公式

\begin{matrix} 1. 求 参 数 ： 规 范 性 \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x d y = 1 \\ 2. 区 域 概 率 ： P {(X, Y) \in D} = \iint_{D} f (x, y) d x d y \\ 3. 边 缘 密 度 ： f_{X} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d y, f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x, y) d x \\ 4. 条 件 密 度 ： f_{Y | X} (y | x) = \frac{f (x, y)}{f_{X} (x)} \\ 5. 独 立 判 定 ： f (x, y) = f_{X} (x) \cdot f_{Y} (y) \end{matrix}

解答

\begin{matrix} (1) 求 常 数 k \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{1} k x d y = 1, 计 算 可 得 ： k = 6 \\ (2) P {X + Y \leq 1} = \iint_{\begin{matrix} x + y \leq 1 \\ 0 \leq x \leq y \leq 1 \end{matrix}} 6 x d x d y = \frac{1}{4} \\ (3) 边 缘 密 度 函 数 X 的 边 缘 密 度 ： f_{X} (x) = {\begin{cases} \int_{x}^{1} 6 x d y = 6 x (1 - x), & 0 < x < 1 \\ 0, & 其他 \end{cases} \\ Y 的 边 缘 密 度 ： f_{Y} (y) = {\begin{cases} \int_{0}^{y} 6 x d x = 3 y^{2}, & 0 < y < 1 \\ 0, & 其他 \end{cases} \\ (4) 条 件 密 度 f_{Y | X} (y | x) : 当 0 < x < 1 时 ， f_{X} (x) \neq 0 ： \\ f_{Y | X} (y | x) = \frac{f (x, y)}{f_{X} (x)} = {\begin{cases} \frac{1}{1 - x}, & 0 < x < y \leq 1 \\ 0, & 其他 \end{cases} \\ (5) 独 立 性 判 定 f (x, y) \neq f_{X} (x) \cdot f_{Y} (y) ， 故 X 与 Y 不 独 立 \end{matrix}

3. 两个离散型随机变量函数的分布

例题

(X,Y) 的联合概率分布如下：

表格

X∖Y	1	2	3
1	1/4	1/4	1/8
2	1/8	0	1/4

求 Z=X+Y 的分布律。

解题过程

\begin{matrix} Z 的 全 部 可 能 取 值 ： 2, 3, 4, 5 \\ 逐 个 计 算 概 率 ： \\ \begin{aligned} P (Z = 2) & = P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{4} \\ P (Z = 3) & = P (X = 1, Y = 2) + P (X = 2, Y = 1) = \frac{3}{8} \\ P (Z = 4) & = P (X = 1, Y = 3) + P (X = 2, Y = 2) = \frac{1}{8} \\ P (Z = 5) & = P (X = 2, Y = 3) = \frac{1}{4} \end{aligned} \end{matrix}

Z=X+Y 最终分布律

表格

Z	2	3	4	5
P	1/4	3/8	1/8	1/4

4. 两个连续型随机变量函数的分布

例题

$(X,Y) 的联合密度函数：f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac12 e^{-\frac{y}{2}}, & 0<x<1,\ y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} 求 Z=X−Y 的密度函数。$

通用解题三步法

\begin{matrix} 找 分 段 点 ： 由 非 零 区 域 边 界 代 入 z = g (x, y) ， 确 定 区 间 分 界 \\ 求 分 布 函 数 ： F_{Z} (z) = P {Z \leq z} = \iint_{\begin{matrix} D \\ x - y \leq z \end{matrix}} f (x, y) d x d y \\ 求 导 得 密 度 ： f_{Z} (z) = F_{Z}^{'} (z) \end{matrix}

详细推导

\begin{matrix} 一 、 分 段 点 边 界 值 代 入 得 分 段 点 ： z = 0, z = 1 \\ 二 、 分 段 求 解 分 布 函 数 \\ 1. 当 z < 0 X - Y \leq z ⟹ y \geq x - z 积 分 区 域 ： x \in (0, 1), y \in (x - z, + \infty) \\ F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} d x \int_{x - z}^{+ \infty} \frac{1}{2} e^{- \frac{y}{2}} d y \\ F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} {(- e^{- \frac{y}{2}}) |}_{x - z}^{+ \infty} d x F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} e^{\frac{z - x}{2}} d x F_{Z} (z) = e^{\frac{z}{2}} \int_{0}^{1} e^{- \frac{x}{2}} d x \\ F_{Z} (z) = e^{\frac{z}{2}} \cdot (- 2 e^{- \frac{x}{2}}) |_{0}^{1} F_{Z} (z) = 2 (1 - e^{- \frac{1}{2}}) e^{\frac{z}{2}} \\ 2. 当 0 \leq z < 1 采 用 补 集 计 算 ： P {X - Y \leq z} = 1 - P {X - Y > z} \\ X - Y > z ⟹ y < x - z ， 有 效 范 围 x \in (z, 1), y \in (0, x - z) \\ F_{Z} (z) = 1 - \int_{z}^{1} d x \int_{0}^{x - z} \frac{1}{2} e^{- \frac{y}{2}} d y F_{Z} (z) = 1 - \int_{z}^{1} (1 - e^{- \frac{x - z}{2}}) d x \\ F_{Z} (z) = 1 - {[x + 2 e^{\frac{z - x}{2}}]}_{z}^{1} F_{Z} (z) = z + 2 - 2 e^{\frac{z - 1}{2}} \\ 3. 当 z \geq 1 此 时 区 域 全 覆 盖 ， 必 然 满 足 \\ X - Y \leq z ， F_{Z} (z) = 1 ， 汇 总 分 布 函 数 ： F_{Z} (z) = {\begin{cases} 2 (1 - e^{- \frac{1}{2}}) e^{\frac{z}{2}}, & z < 0 \\ z + 2 - 2 e^{\frac{z - 1}{2}}, & 0 \leq z < 1 \\ 1, & z \geq 1 \end{cases} \\ 三 、 求 导 得 到 概 率 密 度 函 数, 由 f_{Z} (z) = F_{Z}^{'} (z) 分 段 求 导 ： \\ 当 z < 0 f_{Z} (z) = 2 (1 - e^{- \frac{1}{2}}) \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{z}{2}} = (1 - e^{- \frac{1}{2}}) e^{\frac{z}{2}} \\ 当 0 \leq z < 1 f_{Z} (z) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{\frac{z - 1}{2}} = 1 - e^{\frac{z - 1}{2}} \\ 当 z \geq 1 f_{Z} (z) = 0 \\ 最 终 概 率 密 度 f_{Z} (z) = {\begin{cases} (1 - e^{- \frac{1}{2}}) e^{\frac{z}{2}}, & z < 0 \\ 1 - e^{\frac{z - 1}{2}}, & 0 \leq z < 1 \\ 0, & z \geq 1 \end{cases} \end{matrix}

随机变量的数字特征

1. 期望、方差

例题

$X_1、X_2、X_3$ $X_1 \sim U(0,6)，X_2 \sim N(0,4)，X_3 \sim P(3)$

$D(X1−2X2+3X3)$

核心性质

\begin{matrix} 若 X 与 Y 独 立 ： D (X + Y) = D (X) + D (Y) \\ 若 不 独 立 ： D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) \pm 2 Cov (X, Y) (协 方 差) \\ 方 差 数 乘 性 质 ： D (c X) = c^{2} D (X) \end{matrix}

常见分布期望 & 方差对照表

表格

分布类型	0-1 分布	二项分布 B(n,p)	泊松分布 P(λ)	均匀分布 U(a,b)	指数分布 e(λ)	正态分布 N(μ,σ2)
E(X)	p	np	λ	$\displaystyle \frac{a+b}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{\lambda}$	$\mu$
D(X)	p(1−p)	np(1−p)	λ	$\displaystyle \frac{(b-a)^2}{12}$	$\displaystyle \frac{1}{\lambda^2}$	$\sigma^2$

解题过程

\begin{aligned} D (X_{1} - 2 X_{2} + 3 X_{3}) & = D (X_{1}) + 4 D (X_{2}) + 9 D (X_{3}) \\ = 3 + 16 + 27 = 46 \end{aligned}

2. 期望与方差的关系

例题

$E(X^2)$

核心公式

\begin{matrix} D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} \\ 变 形 得 ： E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} \\ 本 题 中 X \sim B (10, 0.4) \end{matrix}

解题过程

\begin{aligned} E (X) & = n p = 10 \times 0.4 = 4 \\ D (X) & = n p (1 - p) = 10 \times 0.4 \times 0.6 = 2.4 \\ E (X^{2}) & = D (X) + [E (X)]^{2} \\ = 2.4 + 4^{2} = 18.4 \end{aligned}

3. 离散型随机变量的协方差、相关系数

例题

已知离散型变量 X,Y 的分布律如下：

表格

X	0	1	2
P	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

表格

Y	0	1	2
P	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$

表格

XY	0	1	2	4
P	$\displaystyle \frac{7}{12}$	$\displaystyle \frac{1}{3}$	0	$\displaystyle \frac{1}{12}$

求：

$Cov(X−Y,Y)$
$ρ_{XY}$

核心公式

\begin{matrix} 相 关 系 数 ： ρ_{X Y} = \frac{Cov (X, Y)}{\sqrt{D (X)} \cdot \sqrt{D (Y)}} \\ 协 方 差 定 义 ： Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y), \\ Cov (X, X) = D (X) \\ 协 方 差 线 性 性 ： Cov (X \pm Y, Z) = Cov (X, Z) \pm Cov (Y, Z), \\ Cov (- Y, Y) = - Cov (Y, Y) \end{matrix}

解题过程

\begin{matrix} (1) Cov (X - Y, Y) = Cov (X, Y) - Cov (Y, Y) \\ = [E (X Y) - E (X) E (Y)] - D (Y) \\ = - \frac{2}{3} \\ (2) ρ_{X Y} = \frac{Cov (X, Y)}{\sqrt{D (X)} \sqrt{D (Y)}} = 0 \end{matrix}

👉 结论：X与Y不相关（无线性相关关系）

⚠️ 易错提醒：不相关独立

4. 连续型随机变量的协方差、相关系数

例题

\begin{matrix} 设 (X, Y) 的 联 合 概 率 密 度 函 数 ： f (x, y) = {\begin{cases} \frac{3}{4} x^{2} y, & 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & 其他 \end{cases}, 求 ρ_{X Y} \end{matrix}

核心公式

二维连续型随机变量函数的期望：

E (g (X, Y)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x, y) \cdot f (x, y) d x d y

解题过程

\begin{matrix} 计 算 E (X Y) ： E (X Y) = \iint_{D} x y \cdot \frac{3}{4} x^{2} y d x d y \\ = \int_{0}^{2} d x \int_{0}^{1} \frac{3}{4} x^{3} y^{2} d y = 1 \\ 计 算 E (X) ： E (X) = \iint_{D} x \cdot \frac{3}{4} x^{2} y d x d y = \frac{3}{2} \\ 计 算 E (Y) ： E (Y) = \iint_{D} y \cdot \frac{3}{4} x^{2} y d x d y = \frac{2}{3} \\ 计 算 协 方 差 ： Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) \\ = 1 - \frac{3}{2} \times \frac{2}{3} = 0 \\ 计 算 相 关 系 数 ： ρ_{X Y} = \frac{Cov (X, Y)}{\sqrt{D (X)} \sqrt{D (Y)}} = 0 \end{matrix}

👉 结论：X与Y不相关

5. 切比雪夫不等式估计概率

例题

$E(X)=100, D(X)=50$ $P\{80<X<120\}≥\_$

核心公式

远离均值形式：

P {∣ X - E (X) ∣\geq ε} \leq \frac{D (x)}{ε^{2}} (大 小 不 一)

靠近均值形式（常用）：

P {∣ X - E (X) ∣< ε} \geq 1 - \frac{D (x)}{ε^{2}} (小 大 有 一) ​

解题过程

\begin{aligned} P {80 < X < 120} & = P {- 20 < X - E (X) < 20} \\ = P {| X - E (X) | < 20} \geq 1 - \frac{D (X)}{ε^{2}} \\ = 1 - \frac{50}{20^{2}} \\ = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \end{aligned}

中心极限定理

$X_1,X_2,\dots,X_n$ $\displaystyle\sum_{i=1}^n X_i \stackrel{\text{近似}}{\sim} N\left(\sum_{i=1}^n EX_i,\sum_{i=1}^n DX_i\right)$

例题1

题目：根据以往的经验，某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是独立的，求这16只元件的寿命总和大于1920小时的概率。

解：

\begin{aligned} 设 X_{i} = 第 i 只 元 件 的 寿 命 ， 由 题 意 ： \\ E (X_{i}) = 100, D (X_{i}) = 100^{2}, i = 1, 2, \dots, 16 \\ 由 中 心 极 限 定 理 ： \\ \sum_{i = 1}^{16} X_{i} \overset{近似}{\sim} N (E (\sum_{i = 1}^{16} X_{i}), D (\sum_{i = 1}^{16} X_{i})) = N (16 \times 100, 16 \times 100^{2}) \\ P {\sum_{i = 1}^{16} X_{i} > 1920} = 1 - P {\sum_{i = 1}^{16} X_{i} \leq 1920} \\ = 1 - P {\frac{\sum_{i = 1}^{16} X_{i} - 1600}{\sqrt{16 \times 100^{2}}} \leq \frac{1920 - 1600}{\sqrt{16 \times 100^{2}}}} \\ = 1 - Φ (0.8) = 0.2119 \end{aligned}

例题2

题目：一个复杂的系统由100个独立的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，求这100个部件中至少有85个正常的概率。

$X_i$ $i$ $X_i$ 服从0-1分布：

$x_i$	0	1
$P_i$	0.9	0.1

\begin{aligned} i = 1, 2, \dots, 100, E (X_{i}) = p = 0.1, D (X_{i}) = p (1 - p) = 0.09 \\ 由 中 心 极 限 定 理 ： \sum_{i = 1}^{100} X_{i} \overset{近似}{\sim} N (E (\sum_{i = 1}^{100} X_{i}), D (\sum_{i = 1}^{100} X_{i})) \\ = N (100 \times 0.1, 100 \times 0.09) = N (10, 9), \\ 题 意 转 化 ： \geq 85 个 正 常 ⟺ 损 坏 的 部 件 个 数 \leq 15 \\ 所 以 P {正常部件数 > 85} \\ = P {损坏部件数 \leq 15} \\ = P {\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \leq 15} \\ = P {\frac{\sum_{i = 1}^{100} X_{i} - 10}{\sqrt{9}} \leq \frac{15 - 10}{\sqrt{9}}} \\ = Φ (\frac{5}{3}) = 0.9529 \end{aligned}

By @Jrafina 2026-06-07 本博文内容为原创作品，未经允许不得转载。如需转载，请注明原作者及出处。

连续型随机变量相关计算笔记

一、连续型随机变量基础互算（）（F(x)↔f(x)）（F(x)\leftrightarrow f(x)）

二、常见连续型分布计算

1. 均匀分布 X∼U(a,b)\boldsymbol{X\sim U(a,b)}

2. 正态分布

三、连续型随机变量的函数分布(Y=g(X))(\boldsymbol{Y=g(X)})

二维随机变量及其分布

1. 二维离散型随机变量的分布（联合、边缘、条件分布、独立性）

例题

解题核心要点

(1) 联合概率分布

(2) 边缘分布

(3) Y=1 条件下 X 的条件分布律

(4) 独立性判断

2. 二维连续型随机变量相关计算（联合、边缘、条件密度、独立性）

例题

核心公式

解答

3. 两个离散型随机变量函数的分布

例题

解题过程

Z=X+Y 最终分布律

4. 两个连续型随机变量函数的分布

例题

通用解题三步法

详细推导

随机变量的数字特征

1. 期望、方差

例题

核心性质

常见分布期望 & 方差对照表

解题过程

2. 期望与方差的关系

例题

核心公式

解题过程

3. 离散型随机变量的协方差、相关系数

例题

核心公式

解题过程

4. 连续型随机变量的协方差、相关系数

例题

核心公式

解题过程

5. 切比雪夫不等式估计概率

例题

核心公式

解题过程

中心极限定理

例题1

例题2

$（F(x)\leftrightarrow f(x)）$

$\boldsymbol{X\sim U(a,b)}$

$(\boldsymbol{Y=g(X)})$